Calcula el área máxima que puede tener un triángulo rectángulo de tal manera que la suma de las longitudes de sus dos catetos vale 12 cm

El área máxima que puede tener un triángulo rectángulo de tal manera que la suma de las longitudes de sus dos catetos vale 12 cm es 18 cm^2.

Step-by-step explanation:

Supongamos que los dos catetos son "x" y "y".

La suma de las longitudes de sus dos catetos vale 12 cm:

(1) x+y=12

El área del triangulo rectángulo puede determinarse con la siguiente formula:

(2) A=(1/2) x y

Si de la ecuación (1) despejamos y:

(1) x+y-x=12-x→y=12-x

y la sustituimos en la ecuación (2):

(2) A=(1/2) x (12-x)

Si hacemos el producto de los términos del lado derecho de la ecuación de arriba:

(2) A=(1/2) (12x-x^2)

(2) A=(1/2)(12x) - (1/2)(x^2)

(2) A=6x-(1/2) x^2

(2) A= -(1/2) x^2 + 6x

Esta es una ecuación cuadrática cuya gráfica es una parábola, y como el coeficiente de la x^2 es negativo (-1/2), la parábola se abre hacia abajo y en el vértice ocurre un valor máximo del área. El valor de la abscisa del vértice (h) puede hallarse con la siguiente fórmula:

y=ax^2+bx+c→h=-b/(2a); a=-1/2, b=6

h=-6/[2(-1/2)]→h=-6/(-1)→h=6

Y el valor máximo del área se halla sustituyendo en la ecuación (2) la variable x por el valor de h=6:

(2) Amáx = -(1/2) (6)^2+6(6)

Amáx = -(1/2) (36)+36

Amáx=-18+36

Amáx=18 cm^2

Respuesta: El área máxima que puede tener un triángulo rectángulo de tal manera que la suma de las longitudes de sus dos catetos vale 12 cm es 18 cm^2.