Find the equation for the plane through the points Upper P 0 (4 comma 5 comma negative 3 )P0(4,5,−3), Upper Q 0 (1 comma 4 comma 5 )Q0(1,4,5), and Upper R 0 (0 comma 2 comma 1 )R0(0,2,1).

  4x -4y +z = -7

Step-by-step explanation:

The direction vector will be perpendicular to any/all vectors between the given points. It can be found, for example, using the cross product:

  d = (P0Q0) × (P0R0) = (-3, -1, 8) × (-4, -3, 4)

The cross product can be computed by hand or by any of a number of calculators or web tools. Here it will be ...

  d = (20, -20, 5)

These can be the coefficients of x, y, and z in the plane equation. However, the equation is better written using coefficients that are mutually prime, so we choose the direction vector to be ...

  d = (4, -4, 1)

The constant C in the plane equation

  d·(x, y, z) = C

will be the dot product of this direction vector (d) any any of the given points. Using R0, we find the constant to be ...

 C = (4, -4, 1)·(0, 2, 1) = 4·0 +(-4)·2 +1·1 = -8+1 = -7

so, the plane equation is ...

  4x -4y +z = -7

Los principales líderes panameños que conspiraron para la separación de Panama fueron Manuel Amador Guerrero y José Agustín Arango Remon.

Explanation:

José Agustín Arango Remon fue presidente de la junta de gobierno provisional después de la declaración de independencia de Panamá de Colombia.  El era hijo de padres cubano-panameños. Trabajó como empresario y banquero. Por razones financieras, estaba muy interesado en construir el Canal de Panamá. Por esta razón, se unió al movimiento de independencia respaldado por Estados Unidos que quería la independencia de Colombia. Después de que el ejército estadounidense ocupó el área en 1903 y proclamó el estado independiente de Panamá, Arango trabajó como presidente interino provisional de la junta de gobierno y estuvo en el cargo hasta el 20 de febrero de 1904. Hasta su muerte en 1909, fue Ministro de Asuntos Exteriores.

A su vez, Manuel Amador Guerrero fue el primer presidente de Panamá.  Guerrero era miembro del Partido Conservador, médico oficial del ejército panameño y líder de la Revolución de Liberación contra Colombia en 1903. Del 4 de noviembre de 1903 al 1 de octubre de 1908, fue presidente de la nueva República de Panamá. Su sucesor como presidente fue José Domingo de Obaldía.